Giới thiệu

Gần cuối cuộc đời mình, Richard P. Feynman đã thực hiện một số bài giảng về QED với mục đích dành cho công chúng. Những bài giảng này được biên soạn và xuất bản thành sách Feynman (1985), QED: The strange theory of light and matter,[1] với nội dung trình bày theo phong cách cổ điển mà không dùng các phương trình để giải thích QED như được thể hiện dưới đây.

Những điểm chính trong diễn đạt của Feynman về QED bao gồm ba tác dụng cơ bản.[1]:85

• Một photon đi từ một nơi trong một thời điểm đến nơi khác trong thời điểm khác.
• Một electron đi từ một nơi trong một thời điểm đến nơi khác trong thời điểm khác.
• Một electron phát ra hoặc hấp thụ một photon ở một nơi và thời điểm nhất định.

Các phần tử của sơ đồ Feynman.

Những tác dụng này được biểu diễn bằng hình ảnh đơn giản cho ba phần tử cơ bản của sơ đồ Feynman: đường dạng sóng thể hiện cho photon, đường thẳng thể hiện cho electron và giao điểm của hai đường thẳng và một đường sóng ở một định biểu diễn electron phát ra hoặc hấp thụ một photon. Xem minh họa các phần tử trong hình bên cạnh.

Một điều quan trọng là không đi sâu vào giải thích chi tiết ở từng sơ đồ này. Nó không hàm ý hay giải thích bằng cách nào một hạt đi từ điểm này đến điểm kia. Sơ đồ cũng không hàm ý rằng các hạt chuyển động theo đường thẳng hay theo đường lượn sóng. Chúng không hàm ý các hạt chuyển động với tốc độ cố định. Để cho thuận tiện, photon thường được biểu diễn bằng đường lượn sóng và không phải bằng đường thẳng cũng không hàm ý rằng nó thể hiện tính chất sóng nhiều hơn so với electron. Các hình ảnh chỉ là những ký hiệu để minh họa các tác dụng ở trên: các photon và electron thực hiện, bằng một cách nào đó, di chuyển từ điểm này đến điểm kia và các electron, bằng một cách nào đó, phát ra và hấp thụ các photon. Lý thuyết không cho chúng ta biết làm cách nào mà những tác dụng này xảy ra, nhưng lý thuyết cho chúng ta biết cách tính xác suất cho nhiều tình huống khác nhau.

Ngoài cách biểu diễn ngắn gọn bằng hình ảnh cho các tác dụng, Feynman cũng giới thiệu một khái niệm ngắn gọn khác cho các đại lượng bằng số gọi là biên độ xác suất. Xác suất bằng bình phương của trị tuyệt đối của tổng biên độ xác suất, P r o b . = | f ( A m p l i t u d e ) | 2 {\displaystyle Prob.=|f(Amplitude)|^{2}} . Nếu một photon đi từ một nơi này đến nơi khác và tại một thời điểm tương ứng, ví dụ từ A— đến một nơi khác và ở thời điểm tương ứng khác—ví dụ, B—đại lượng miêu tả cho quá trình này được Feynman viết gọn là P ( A t o B ) {\displaystyle P(AtoB)} . Đại lượng tương tự cho sự kiện một electron di chuyển từ C đến D được viết bằng E(C to D). Đại lượng cho chúng ta biết biên độ xác suất của sự kiện phát ra hoặc hấp thụ một photon thì ông ký hiệu là 'j'. Đại lượng này có liên hệ với, nhưng không giống nhau, điện tích electron đo được 'e'.[1]:91

QED dựa trên giả sử rằng các tương tác phức tạp giữa nhiều electron và photon có thể được biểu diễn bằng cách sắp xếp cho phù hợp ba tác dụng cơ bản ở trên, rồi sử dụng các biên độ xác suất để tính xác suất xảy ra bất kỳ một tương tác phức tạp nào. Hóa ra các ý tưởng cơ bản của QED có thể được truyền đạt bằng cách giả sử rằng bình phương của tổng các biên độ xác suất như đã đề cập ở trên (P(A đến B), E(A đến B) và 'j') hoạt động giống như khái niệm xác suất trong toán học. (Một cách đơn giản hóa như thường gặp trong các sách của Feynman.) Sau đó, theo Feynman, giá trị xác suất sẽ được hiệu chỉnh để bao gồm những công thức toán học đặc biệt trong cơ học lượng tử.

Những quy tắc cơ bản của biên độ xác suất mà sẽ được sử dụng là a) nếu một sự kiện có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau thì biên độ xác suất của nó bằng tổng của các biên độ xác suất của các cách khả dĩ và b) nếu một quá trình bao gồm một số các quá trình con độc lập thì biên độ xác suất của nó bằng tích của các biên độ xác suất của các quá trình con.[1]:93

Những bước cơ bản

Giả sử chúng ta bắt đầu bằng một electron ở một vị trí và thời điểm nhất định (vị trí và thời điểm này được gán bất kỳ bằng ký hiệu A) và một photon ở vị trí và thời điểm khác (ký hiệu là B). Một câu hỏi xuất hiện một cách tự nhiên từ quan điểm vật lý đó là: 'Xác suất để tìm thấy một electron tại C (ở vị trí và thời điểm khác) và một photon tại D (cũng một vị trí và thời điểm khác) bằng bao nhiêu?'. Quá trình đơn giản nhất để có được kết quả cuối cùng này là electron di chuyển từ A đến C (một tác dụng cơ bản) và photon di chuyển từ B đến D (một tác dụng cơ bản khác). Một khi biết được biên độ xác suất của mỗi một quá trình con – E(A đến C) và P(B đến D) – thì chúng ta có thể tính được biên độ xác suất của sự kiện hai quá trình xảy ra cùng nhau bằng cách nhân chúng với nhau, như sử dụng quy tắc b) ở trên. Quá trình này cho ước lượng đơn giản về biên độ xác suất tổng của nó, mà khi lấy bình phương chúng ta thu được xác suất để xảy ra quá trình này.

Tán xạ Compton.

Nhưng cũng có những con đường khác mà kết quả cuối cùng cũng giống như với quán trình ở trên. Electron có thể di chuyển đến một vị trí và thời điểm E mà tại đây nó hấp thụ một photon; sau đó nó tiếp tục di chuyển trước khi phát ra một photon khác tại F; và rồi nó đi tới C ở vị trí bị phát hiện, trong khi photon mới phát ra thì di chuyển tới D. Xác suất của quá trình phức tạp hơn này có thể thu được bằng cách tìm biên độ xác suất của từng tiến trình con: bao gồm ba tác dụng của electron, hai tác dụng của photon và hai đỉnh – một phát ra và một hấp thụ. Chúng ta có thể tìm được tổng biên độ xác suất bằng cách nhân biên độ xác suất của từng tác dụng này, với một vị trí bất kỳ E và F được chọn. Sau đó, chúng ta sử dụng quy tắc a) ở trên, thực hiện cộng tất cả những biên độ xác suất khả dĩ cho mọi vị trí có thể có của E và F. (Phép cộng này trong thực hành không mấy khi gặp, mà thay vào đó được thực hiện bằng tích phân.) Nhưng cũng có một khả năng khác, đó là electron đầu tiên di chuyển đến G nơi nó phát ra một photon mà photon này đi tới D, trong khi electron tiếp tục di chuyển đến H, nơi nó hấp thụ photon đầu tiên, trước khi di chuyển đến C. Một lần nữa, chúng ta có thể tính toán biên độ xác suất của những tiến trình khả dĩ (cho mọi điểm G và H). Chúng ta có thể thu được ước lượng tốt hơn cho tổng biên độ xác suất bằng cách cộng những biên độ xác suất của hai khả năng này (gồm vị trí E và F, G và H) vào ước lượng đơn giản đầu tiên. Một cách trùng hợp, tên gọi cho quá trình một photon tương tác với một electron theo cách này được gọi là tán xạ Compton.

Có vô hạn những quá trình trung gian trong đó thêm nhiều photon bị hấp thụ và/hoặc phát ra. Với mỗi quá trình như vậy có một sơ đồ Feynman tương ứng để miêu tả nó. Điều này hàm ý rằng tính toán trở lên phức tạp cho giá trị biên độ xác suất, nhưng cũng cho thấy đối với trường hợp biểu đồ càng phức tạp thì giá trị đóng góp vào kết quả ban đầu càng ít đi, ở đây chỉ có vấn đề về thời gian và nỗ lực tính toán để tìm ra giá trị càng chính xác hơn so với giá trị ban đầu. Đây là cách tiếp cận tính toán cơ bản của QED. Để tính toán xác suất của bất kỳ quá trình tương tác nào giữa các electron và photon đó là đầu tiên phải chú ý đến, với những sơ đồ Feynman nào mà, mọi cách khả dĩ để quá trình này có thể được xây dựng từ ba phần tử cơ bản miêu tả ở trên. Mỗi sơ đồ bao gồm một số tính toán chứa những quy tắc xác định để tìm ra biên độ xác suất kèm theo.

Cách xây dựng cơ bản trên vẫn còn áp dụng khi chúng ta chuyển sang cách miêu tả theo cơ học lượng tử nhưng cần thay đổi một số khái niệm. Một trong số đó là chúng ta thường nghĩ rằng trong cuộc sống hàng ngày sẽ có một số giới hạn lên những điểm mà hạt có thể di chuyển, nhưng điều này trở lên không còn đúng trong điện động lực học lượng tử. Có khả năng cho một electron tại A, hoặc một photon tại B, di chuyển theo tác dụng cơ bản đến một nơi bất kỳ khác trong một thời điểm bất kỳ trong vũ trụ. Điều này bao gồm cả những vị trí mà chỉ có thể đi tới khi vận tốc đòi hỏi phải lớn hơn tốc độ ánh sáng và thậm chí ở thời điểm sớm hơn. (Một electron đi ngược lại thời gian có thể coi như là một positron di chuyển theo chiều thời gian.)[1]:89, 98–99

Biên độ xác suất

Feynman thay thế các số phức bằng những mũi tên quay định hướng, mà bắt đầu từ lúc photon phát ra và đi đến máy dò hạt. Tổng của mọi mũi tên kết quả biểu diễn tổng xác suất của sự kiện. Trong minh hoạ này, ánh sáng phát ra từ nguồn S phản xạ bởi vài mảnh gương (màu lục) trước khi đi tới máy dò tại P. Tổng ( Σ {\displaystyle \Sigma } ) của mọi con đường phải được tính vào. Đồ thị bên dưới miêu tả tổng thời gian di chuyển cho mỗi con đường ở trên.

Cơ học lượng tử giới thiệu một sự thay đổi quan trọng trong cách xác suất được tính toán. Xác suất vẫn được biểu diễn bằng những số thực thông thường mà chúng ta sử dụng trong tính xác suất hàng ngày, nhưng xác suất lượng tử ở đây được tính bằng bình phương biên độ xác suất. Biên độ xác suất là những số phức.

Feynman tránh trình bày với độc giả những số phức toán học bằng cách sử dụng đơn giản nhưng chính xác hình ảnh của chúng như là những mũi tên trên trang sách hay bảng viết. (Không nên nhầm lẫn với các mũi tên của sơ đồ Feynman mà chúng thực sự là những biểu diễn đơn giản của mối liên hệ giữa hai điểm trong không gian ba chiều và một chiều thời gian.) Biên độ của các mũi tên là công cụ miêu tả cơ bản của lý thuyết lượng tử cho thế giới vi mô. Không có lý giải thỏa đáng nào cho câu hỏi tại sao chúng lại cần thiết như vậy. Nhưng thực tế chúng ta phải chấp nhận rằng chúng là một phần cơ bản trong miêu tả của chúng ta về mọi hiện tượng lượng tử. Chúng được liên hệ với ý tưởng xác suất trong toán học bởi quy tắc đơn giản đó là xác suất của một sự kiện bằng bình phương độ lớn của độ dài của mũi tên biên độ tương ứng. Do đó, đối với một quá trình cho trước, nếu có hai biên độ xác suất, v và w, xác suất của quá trình được cho bởi hoặc là

P = | v + w | 2 {\displaystyle P=|\mathbf {v} +\mathbf {w} |^{2}}

hoặc

P = | v w | 2 . {\displaystyle P=|\mathbf {v} \,\mathbf {w} |^{2}.}

Quy tắc giống như phép tính cộng và phép tính nhân, tuy nhiên là giống như miêu tả ở trên. Nhưng thông thường trong đời sống hàng ngày nơi chúng ta thực hiện cộng hoặc nhân các giá trị xác suất, thay vào đó trong điện động lực học lượng tử chúng ta thực hiện cộng hoặc nhân các biên độ xác suất là những số phức.

Phép cộng các biên độ xác suất như đối với số phức.Phép nhân các biên độ xác suất như quy tắc đối với số phức.

Phép cộng và nhân tương tự trong lý thuyết số phức và được minh họa bằng hình ảnh bên cạnh. Kết quả tổng được tính như sau. Đặt điểm đầu của mũi tên thứ hai vào điểm cuối của mũi tên thứ nhất. Tổng có được chính là mũi tên thứ ba nối trực tiếp từ điểm đầu của mũi tên thứ nhất với điểm cuối của mũi tên thứ hai. Tích của hai mũi tên là một mũi tên mới với độ dài là tích của hai độ dài của hai mũi tên. Hướng của mũi tên kết quả được tìm bằng cách cộng các góc của mỗi mũi tên được xoay theo một hướng quy chiếu: nó cho kết quả góc của phép nhân được xoay tương đối với một hướng quy chiếu.

Sự thay đổi trên, từ các xác suất thành các biên độ xác suất, làm phức tạp thêm các tính toán toán học nhưng không làm thay đổi cách tiếp cận cơ bản đã nêu. Nhưng sự thay đổi này vẫn chưa đủ bởi vì nó chưa tính đến cả photon và electron có đặc điểm là có thể phân cực, hay có nghĩa rằng hướng của chúng trong không gian và thời gian phải được tính đến. Do vậy, P(A đến B) thực sự chứa 16 số phức, hay các mũi tên biên độ xác suất.[1]:120–121 Cũng có một số thay đổi nhỏ liên quan tới đại lượng "j", mà phải quay hoặc nhân với 90° cho một số trường hợp phân cực, khi muốn thực hiện các phép tính yêu cầu chính xác cao hơn.

Đi kèm với thực tế rằng electron có thể phân cực còn có thêm những chi tiết nhỏ cần thiết khác liên quan tới tính chất một electron là hạt fermion và tuân theo thống kê Fermi–Dirac. Quy tắc cơ bản là nếu chúng ta có biên độ xác suất cho một quá trình phức tạp với sự tham gia của nhiều hơn một electron, thì khi chúng ta bao gồm vào (mà chúng ta luôn phải tính đến) biểu đồ Feynman bổ sung mà ở đó chúng ta chỉ trao đổi hai electron cho nhau, biên độ kết quả có giá trị ngược dấu – dấu âm – của biên độ đầu tiên. Ví dụ, trường hợp đơn giản nhất đó là hai electron bắt đầu tại A và B và kết thúc tại C và D. Lúc này biên độ xác suất cho toàn bộ sự kiện sẽ được tính toán như là "hiệu", E(A đến D) × E(B đến C) − E(A đến C) × E(B đến D), mà khác với kiến thức chúng ta được học từ lý thuyết xác suất, đó là phép tính "cộng".[1]:112–113

Hàm truyền

Cuối cùng, ta phải tính P (A đến B) và E (C đến D) tương ứng cho biên độ xác suất của photon và electron. Về cơ bản chúng là các nghiệm của phương trình Klein–Gordon mà miêu tả hành xử của biên độ xác suất của photon và phương trình Dirac miêu tả hành xử của biên độ xác suất của electron. P (A đến B) và E (C đến D) được gọi là các hàm truyền Feynman (Feynman propagators). Các khái niệm này được viết chuẩn hóa trong các ấn phẩm chuyên môn như sau:

P ( A to B ) → D F ( x B − x A ) , E ( C to D ) → S F ( x D − x C ) {\displaystyle P({\mbox{A to B}})\rightarrow D_{F}(x_{B}-x_{A}),\quad E({\mbox{C to D}})\rightarrow S_{F}(x_{D}-x_{C})}

với ký hiệu ngắn gọn như x A {\displaystyle x_{A}} là bộ bốn số thực biểu diễn cho tọa độ thời gian và tọa độ không gian ba chiều của sự kiện tại điểm A.

Tái chuẩn hóa khối lượng

Vòng xấp xỉ năng lượng tự tại electron (Electron self-energy loop).

Trong lịch sử xuất hiện một vấn đề mà tồn tại trong khoảng 20 năm của lịch sử điện động lực học lượng tử: mặc dù chúng ta bắt đầu với giả sử gồm ba tác dụng cơ bản "đơn giản", các quy tắc của chò trơi nêu rằng nếu chúng ta muốn tính biên độ xác suất cho một electron từ A đến B chúng ta phải tính mọi con đường khả dĩ: đó là liệt kê ra mọi giản đồ Feynman cho hai điểm đầu cuối này. Do vậy sẽ có một con đường mà electron đi tới C, nó phát ra một photon tại đây và bị hấp thụ tại D trước khi electron đi tới B. Hoặc quá trình này có thể xuất hiện hai lần, thậm chí nhiều hơn. Tựu chung lại chúng ta có một tình huống tựa như ở vấn đề fractal trong đó nếu chúng ta nhìn gần hơn về một đường thì sẽ thấy nó phân nhỏ ra thành tập hợp các đường "đơn giản", mà trong mỗi đường này, nếu tiếp tục nhìn thu nhỏ hơn, thì nó lại được phân thành các đường "đơn giản" khác, và cứ tiếp tục vô hạn như thế. Đây là một tình huống rất khó để giải quyết. Nếu mỗi lần thêm vào chi tiết nó chỉ làm thay đổi nhỏ ở kết quả thì vấn đề không quá tệ, nhưng các nhà vật lý đã gặp thảm họa khi họ tìm thấy sự hiệu chỉnh đơn giản đề cập ở trên dẫn tới biên độ xác suất có giá trị vô hạn. Sau này, vấn đề đã được "khắc phục" bằng kỹ thuật gọi là tái chuẩn hóa. Tuy vậy, chính Feynman vẫn không cảm thấy thoải mái về kỹ thuật này, khi ông gọi nó là "quá trình gàn dở".[1]:128

Kết luận

Với khuôn khổ nêu ở trên các nhà vật lý đã có thể tính với độ chính xác cao một số tính chất của electron, ví dụ như mômen lưỡng cực từ dị thường. Tuy nhiên, như Feynman chỉ ra, lý thuyết hoàn toàn không giải thích được, ví dụ, tại sao các hạt như electron lại có giá trị khối lượng đo được thực tế như vậy. "Chưa có một lý thuyết thỏa đáng giải thích cho những con số như vậy. Chúng ta sử dụng các con số này trong mọi lý thuyết của chúng ta, nhưng chúng ta chưa hiểu chúng – chúng là gì hay chúng đến từ đâu. Tôi tin rằng từ quan điểm cơ bản, đây là một vấn đề nghiêm trọng và rất thú vị."[1]:152